PROBLEMA DE MONTY HALL O DE LAS TRES PUERTAS.


PRESENTADO POR:
Andres Felipe Sanchez Serrano, Hector Javier Pinzon Ardila, Jose Luis Osorio Infante, Yuli Andrea Orejula, Vannessa Alexandra Gelvez y Maria Fernanda Gutierrez Moreno.






FORMA DE PRESENTACIÓN AL PÚBLICO:
Primero se hizo un juego a base del programa “El precio es correcto”, colocando un portatil marca hp y una camara de 5 mpx samsung, que sumados tenian un valor aproximado de $1.632.000.
La persona entre las 20 o 10 que hubieran en el grupo al que se le exponia el problema que acertara diciendo el valor mas cercano sin pasarce del precio entonces se le daba un tipiti, y tenia la oportunidad de ser el participante del juego.
Luego a manera de show de television tal como el programa anterior; un presentador le ofrecia tres puertas el jugador, la numero 1, 2 y 3. Detrás de una de esas tres puertas estaba un carro, y las otras dos contenian cabras tal como el programa base.
El personaje podia elegir cualquiera de estas puertas. Independientemente de la puerta que este eligiera, se le regalaba como cortesia otra de las tres puertas, teniendo como resultado al abrirla una cabra, (el presentador lo hace intensionalmente con el fin de dejar una sola cabra entre las opciones, y obviamente el carro).
Al tener el jugador la puerta que elgío y la puerta restante con la que le dio el presentasor del show; este mismo le da la capacidad para decidir entre si cambiar la puerta elegida por la consiguiente, o de no cambiar.
A pesar de si cambia o no, (casi siempre la persona decide no cambiar la puerta y esto estuvo comprobado por nosotros mismos ya que los unicos que nos cambiaron de puerta eran personas que habian tenido informacion acerca del tema, de resto el 100% no cambio, ya sea por nervios o por lo que sea) entonces se le explica la teoría.

EXPLICACIÓN DEL PROBLEMA:
La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3. ¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?
Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.
Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.
Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.
En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar su elección si quiere maximizar la probabilidad de ganar el coche.




Explicacion matematica: Sea X:(Ω, P) → {1,2,3} la puerta aleatoria detrás de la cual se encuentra el coche. Sea Y:(Ω, P) → {1,2,3} la puerta que escoge aleatoriamente el candidato. Las variables aleatorias X e Y son estocásticamente independientes. Sea M: (Ω, P) → {cabra, coche} lo que se encuentra detrás de la puerta que el moderador, de manera aleatoria, escoge (entre las que aún no se han abierto). Se cumple entonces [M=cabra] con probabilidad 1 (o siempre). La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él no cambia de puerta es entonces P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]=1/3. La probabilidad que el candidato se lleve el coche bajo el supuesto que él cambia de puerta es entonces P[X≠Y|M=cabra]=1-P[X=Y]=2/3. (Esta es la solución correcta.)
Una solución incorrecta se obtiene de la siguiente interpretación: Si, por otro lado, el presentador escoge de manera aleatoria y uniforme entre las puertas que aún no se han abierto, entonces la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él no cambia de puerta) es P[X=Y|M=cabra]=P[X=Y]/P[M=cabra]=P[X=Y]/(P[M=cabra|X=Y]P[X=Y] + P[M=cabra|X≠Y]P[X≠Y])=(1/3)/(1/3 + (1/2)*(2/3)) = 1/2. Por lo tanto, 0,5 es la probabilidad que el candidato se lleve el coche (dado que él cambia de puerta), pero esta respuesta no es aplicable a nuestro problema.
Otra forma para ver el plantemiento es la siguiente: Definimos los eventos A: El concursante elige la puerta con el premio antes de cambiar de opción y; B: El concursante elige la puerta con el premio después de cambiar de opción. Entonces aplicando el teorema de Probabilidad Total, tenemos: P[B]=P[BA]+P[BÂ]=P[B|A]P[A]+P[B|Â]P[Â]=(0)(1/3)+(1)(2/3)= 2/3 (en donde  representa al complemento de A). P[B|A]=0, puesto que son eventos mutuamente excluyentes. P[A]=1/3, debido a que desde el inicio elige una puerta de tres y todas son equiprobables. P[B|Â]=1, es porque si eligió la puerta incorrecta desde el principio y posteriormente realizar el cambio, siempre ganará. P[Â]=2/3, porque P[Â]=1-P[A]=1-1/3=2/3.

¿Por qué sucede esto?
Porque lo que muestra el presentador no afecta a tu elección original, sino sólo a la otra puerta no escogida. Una vez que se abre una puerta y se muestra la cabra, esa puerta tiene una probabilidad de 0 de contener un coche, por lo que deja de tenerse en cuenta. Si el conjunto de dos puertas tenía una probabilidad de contener el coche de 2/3, entonces, si una tiene una probabilidad de 0, la otra debe tener una probabilidad de 2/3. La elección consiste en preguntarte si prefieres seguir con tu puerta original o escoger las otras dos puertas. La probabilidad de 2/3 se traspasa a la otra puerta no escogida (en lugar de dividirse entre las dos puertas restantes de modo que ambas tengan una probabilidad de 1/2) porque en ningún caso puede el presentador abrir la puerta escogida inicialmente. Si el presentador escogiese al azar entre las dos puertas con cabras (incluyendo la del concursante), abriese una de ellas y luego diese de nuevo a elegir, entonces las dos puertas restantes sí tendrían la misma probabilidad de contener el coche.


CONCLUSION:

A pesar de los nervios, matemáticamente lo mas opcional es cambiar de puerta o de opción en este o algún problema parecido, ya que duplica el número de probabilidades para ganar. Ademas demostrar que la matematica mas que una ciencia lejana al diario es algo que necesitamos cotidianamente como estrategias de ganar es estos casos, por ejemplo.